Разбор задачи:

Для решения введем переменную $x$, обозначающую производительность первой трубы (объем воды в минуту). Тогда скорость заполнения второй трубы составит $x + 5$. Систематизируем данные о работе в таблице:

Объект	Скорость ($v$)	Объем ($A$)	Время ($t$)
Первая труба	$x$	104	$\frac{104}{x}$
Вторая труба	$x + 5$	104	$\frac{104}{x + 5}$

Исходя из условия, что первая труба тратит на работу на 5 минут больше времени, чем вторая, составим математическую модель:

$$\frac{104}{x} - \frac{104}{x + 5} = 5$$

Приведем уравнение к линейному виду, умножив обе части на $x(x + 5)$:

$104(x + 5) - 104x = 5x(x + 5)$
$104x + 520 - 104x = 5x^2 + 25x$
$5x^2 + 25x - 520 = 0$

Разделим все коэффициенты на 5 для упрощения расчетов:

$x^2 + 5x - 104 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 = -104 \\ x_1 + x_2 = -5 \end{cases}$

Отсюда получаем два значения: $x_1 = -13$ и $x_2 = 8$.
Поскольку производительность трубы — величина положительная, корень $-13$ нам не подходит. Следовательно, искомая скорость первой трубы равна 8 литрам в минуту.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ