Разбор задачи:

Нам необходимо найти минимально возможное расстояние $d_{1}$.
Согласно формуле тонкой линзы, величина $\frac{1}{f}$ является постоянной, следовательно:
$$\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \text{const}$$ Из этого уравнения видно, что между величинами $d_{1}$ и $d_{2}$ существует обратная зависимость: чтобы значение $d_{1}$ было минимальным, значение $d_{2}$ должно быть максимально возможным.

По условию задачи расстояние до экрана $d_{2}$ варьируется в пределах от $160$ до $180$ см. Таким образом, его наибольшее значение составляет:
$$d_{2 \max} = 180$$

Подставим известные данные ($f = 36$ и $d_{2} = 180$) в исходную формулу для нахождения $d_{1 \min}$:

$$\frac{1}{d_{1 \min}} + \frac{1}{180} = \frac{1}{36}$$

Выразим дробь с искомым параметром:
$$\frac{1}{d_{1 \min}} = \frac{1}{36} - \frac{1}{180}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $180$ (умножив первую дробь на $5$):
$$\frac{1}{d_{1 \min}} = \frac{5 - 1}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$$

Отсюда получаем, что $d_{1 \min} = 45$.

Ответ: 45

Источник: ФИПИ