Решение:
Чтобы определить время работы прибора, подставим заданные параметры в исходное уравнение и решим его относительно $t$:
$$1800 = 1380 + 165 t - 15 t^{2}$$
Перенесем все слагаемые в левую часть для получения квадратного уравнения:
$15 t^{2} - 165 t + 420 = 0$
Разделим обе части на 15, чтобы упростить коэффициенты:
$t^{2} - 11 t + 28 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$t_{1} \cdot t_{2} = 28$
$t_{1} + t_{2} = 11$
Отсюда находим два значения времени: $t_{1} = 7$ и $t_{2} = 4$.
Зависимость температуры от времени $T(t) = T_{0} + bt + at^{2}$ описывается квадратичной функцией, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Это означает, что температура сначала растет, достигает максимума и затем убывает. Критическая отметка в 1800 К будет достигнута впервые через $t = 4$ минуты. Чтобы избежать перегрева и поломки, устройство нужно выключить именно в этот момент.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ