Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 29,75 млн. рублей?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Пусть $r = 15\%$ — годовая процентная ставка, тогда коэффициент начисления процентов составит $p = \frac{r}{100} = 0{,}15 = \frac{3}{20}$ .
Обозначим через $x$ фиксированную величину, на которую ежегодно снижается основной долг.
Общая сумма переплаты (сумма всех начисленных процентов) вычисляется как разница между общей суммой выплат и телом кредита: $29{,}75 - 17 = 12{,}75$ млн рублей.
Проследим за изменением задолженности в таблице:

Год	Остаток долга (до % )	Процентная надбавка	Остаток долга (после выплаты)	Размер платежа
1	$S$	$pS$	$S - x$	$x + pS$
2	$S - x$	$p ( S - x )$	$S - 2 x$	$x + p ( S - x )$
3	$S - 2 x$	$p ( S - 2 x )$	$S - 3 x$	$x + p ( S - 2 x )$
...	...	...	...	...
n	$S - ( n - 1 ) x$	$p ( S - ( n - 1 ) x )$	$S - nx$	$x + p ( S - ( n - 1 ) x )$

Так как в конце срока кредит должен быть полностью погашен, имеем $S - nx = 0$ , откуда $nx = S = 17$ .
Найдем общую сумму начисленных процентов, которая представляет собой сумму арифметической прогрессии:
$pS + p(S - x) + p(S - 2x) + \dots + p(S - (n - 1)x) =$
$= p \cdot \left( nS - (x + 2x + \dots + (n - 1)x) \right) =$
$= p \left( nS - \frac{x + (n - 1)x}{2} \cdot (n - 1) \right) =$
$= p \left( nS - \frac{nx}{2}(n - 1) \right)$ .
Подставим известные значения $S = 17$ и $nx = 17$ :
$p \left( 17n - \frac{17}{2}(n - 1) \right) = p ( 17n - 8{,}5n + 8{,}5 ) = p ( 8{,}5n + 8{,}5 )$ .
Зная, что переплата равна $12{,}75$ , составим уравнение:
$\frac{3}{20} ( 8{,}5n + 8{,}5 ) = 12{,}75$
Умножим обе части на $\frac{20}{3}$ :
$8{,}5n + 8{,}5 = 85$
$8{,}5n = 76{,}5$
$n = 9$ .

Таким образом, срок кредитования составляет 9 лет.

Ответ: 9 лет

Источник: ФИПИ