#23356Задание №16ФИПИ

Прогрессии

Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1962000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.

Вариант 1:
- каждый январь долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.

Вариант 2:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Разбор задачи:

Обозначим через $S$ первоначальную сумму кредита.

Сценарий №1:
Процентная ставка составляет $r = 18 \%.$ Кредит погашается двумя равными ежегодными платежами $x$ .
Составим уравнение динамики задолженности:
После первого года остаток долга: $S \cdot 1{,}18 - x$ .
После второго года долг полностью закрыт:
$(S \cdot 1{,}18 - x) \cdot 1{,}18 - x = 0$
Раскроем скобки и выразим $x$ :
$1{,}3924 S - 2{,}18 x = 0$
$x = \frac{1{,}3924 S}{2{,}18}$ . Подставив значение $S = 1962$ тыс., получим $x = 1253{,}16$ тыс. руб.
Общий объем выплат банку составит: $2x = 1253{,}16 \cdot 2 = 2506{,}32$ тыс. руб.

Сценарий №2:
Процентная ставка $r = 2 \%$ в месяц, срок — 24 месяца. Кредит погашается по схеме дифференцированных платежей (долг уменьшается равномерно).
Начисленные проценты за весь период вычисляются как сумма арифметической прогрессии от остатков долга:
$I = S \cdot 0{,}02 \cdot \left( \frac{24}{24} + \frac{23}{24} + \frac{22}{24} + \dots + \frac{1}{24} \right)$
Итоговая сумма выплат (тело кредита плюс проценты):
$P = S + S \cdot 0{,}02 \cdot \left( \frac{1 + \frac{1}{24}}{2} \cdot 24 \right) = S + S \cdot 0{,}02 \cdot 12{,}5 = S + 0{,}25 S = 1{,}25 S$ .
При $S = 1962$ тыс. руб. общая выплата составит:
$1{,}25 \cdot 1962 = 2452{,}5$ тыс. руб.

Сравнение вариантов:
Второй вариант оказывается экономичнее. Рассчитаем разницу в расходах:
$2506{,}32 - 2452{,}5 = 53{,}82$ тыс. руб.

Переведем результат в рубли: $53{,}82 \cdot 1000 = 53820$ рублей.

Ответ: 53820 рублей

Источник: ФИПИ