#23355Задание №16ФИПИ

Прогрессии

Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.

Вариант 1:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.

Вариант 2:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Рассмотрим условия первого варианта кредитования:
Процентная ставка составляет 15% годовых. Пусть $S = 1806$ тыс. рублей — сумма займа.
В конце первого года задолженность увеличивается на 15%, становясь равной $1{,}15 S .$
После этого производится ежегодный фиксированный платеж $x$ тыс. рублей. Остаток долга составит $(1{,}15 S - x) .$
В начале второго года на этот остаток вновь начисляются проценты: $1{,}15 (1{,}15 S - x) .$
Второй платеж, также равный $x ,$ полностью закрывает кредит. Составим уравнение:
$1{,}15 (1{,}15 S - x) - x = 0$
Раскроем скобки и выразим $x$ :
$1{,}15^{2} S - 1{,}15 x - x = 0 ;$
$1{,}15^{2} S = 2{,}15 x ;$
$x = \frac{1{,}15^{2} \cdot S}{2{,}15} .$
Подставим значение $S = 1806$ :
$x = \frac{1{,}15^{2} \cdot 1806}{2{,}15} = 1{,}15^{2} \cdot 840 = 1110{,}9$ тыс. рублей.
Общая сумма выплат по первому варианту составит $2x = 2 \cdot 1110{,}9 = 2221{,}8$ тыс. рублей (или 2 221 800 рублей).

Рассмотрим условия второго варианта кредитования:
Здесь применяется схема с дифференцированными платежами сроком на 24 месяца. Долг должен уменьшаться равномерно, поэтому обозначим ежемесячное уменьшение тела кредита через $x .$ Тогда общая сумма $S = 24x = 1806$ тыс. рублей. Проценты (2% в месяц) начисляются на остаток задолженности. В первый месяц — на $24x ,$ во второй — на $23x ,$ и так далее до последнего месяца — на $x .$
Вычислим суммарную величину начисленных процентов:
$0{,}02 \cdot (24x + 23x + 22x + \dots + x)$
Для расчета суммы в скобках применим формулу арифметической прогрессии:
$0{,}02 \cdot \frac{24x + x}{2} \cdot 24 = 0{,}02 \cdot 25x \cdot 12 = 6x$ тыс. рублей.
Итоговая сумма к возврату складывается из основного долга $24x$ и переплаты по процентам $6x ,$ что в сумме дает $30x .$
Найдем $x$ : $x = \frac{1806}{24} = 75{,}25$ тыс. рублей.
Общие выплаты по второму варианту:
$30 \cdot 75{,}25 = 2257{,}5$ тыс. рублей (или 2 257 500 рублей).

Сравним результаты: первый вариант выгоднее для заемщика. Разница между выплатами составит:
$2257500 - 2221800 = 35700$ рублей.

Критерии оценивания:
Верное решение и обоснованный ответ — 2 балла
Правильно составлена математическая модель — 1 балл
Другие случаи — 0 баллов

Ответ: 35700 рублей

Источник: ФИПИ