Вариант 7 · Май 2026

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 12. Точка $E$  - середина стороны $AD .$ Найдите площадь трапеции $BCDE .$

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 25 ; 0 )$ и $\overset{\rightarrow}{b} ( 1 ; - 5 ) .$ Найдите длину вектора $\overset{\rightarrow}{a} - 4 \overset{\rightarrow}{b .}$

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 девочек и 2 мальчика. Найдите вероятность того, что мальчики не будут сидеть рядом.

Найдите корень уравнения $\log _{2} \left(x + 5\right) = 9 .$

Найдите значение выражения $4 \sqrt{3} \sin ( - 120^{\circ} ) .$

На рисунке изображен график производной функции $f ' \left(x\right) ,$ определенной на интервале $\left(- 7 ; 14\right) .$ Найдите количество точек максимума функции $f \left(x\right)$ на отрезке $\left[- 6 ; 9\right] .$

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_{0} = 70$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_{0} t + \frac{at^{2}}{2} ,$ где $t$ - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.

В сосуд, содержащий 5 литров 10-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = a^{x} .$ Найдите значение $f ( 5 ) .$

Найдите точку максимума функции $y = \log _{2} \left(2 + 2 x - x^{2}\right) - 2 .$

а) Решите уравнение $\frac{\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x )}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right] .$

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21} .$ На ребрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM = 4 , SK : KB = 1 : 3 .$
а)  Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC .$
б)  Найдите объем пирамиды $BCKM .$

Решите неравенство $\frac{49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 3}{7^{x} - 5} + \frac{6 \cdot 7^{x} - 39}{7^{x} - 7} \leq 7^{x} + 5 .$

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $( 0{,}5 x^{2} + 2 x + 6 )$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - ( 0{,}5 x^{2} + 2 x + 6 ) .$ Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Две окружности касаются внутренним образом в точке $А ,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P .$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. 
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны. 
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP .$ Найдите длину отрезка $AL ,$ если радиус большей окружности равен $34 ,$ а $BC = 32 .$

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$x^{4} + \left(a - 3\right)^{2} = \left|x - a + 3\right| + \left|x + a - 3\right|$
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз? 
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7? 
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.