Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой. Обозначим сторону треугольника через $a$, а медиану (она же высота) через $h$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны основания и боковой стороной исходного треугольника. По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо соотношение:
$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

3. Выразим высоту $h$ через сторону $a$:
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$h^2 = \frac{3a^2}{4}$
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

4. По условию задачи медиана $h = 9\sqrt{3}$. Подставим это значение в нашу формулу:
$9\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь найдём сторону $a$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$9 = \frac{a}{2}$

6. Умножим обе части на 2:
$a = 9 \cdot 2$
$a = 18$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 18.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ