Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой.

2. Пусть сторона треугольника равна $a = 14 \sqrt{3}$. Высота $h$ делит основание пополам, образуя два равных прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников:
— гипотенуза равна стороне треугольника $a = 14 \sqrt{3}$;
— один катет — это искомая высота $h$;
— второй катет равен половине стороны треугольника, то есть $\frac{a}{2} = \frac{14 \sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3}$.

3. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$h^2 + (7 \sqrt{3})^2 = (14 \sqrt{3})^2$

4. Вычислим значения квадратов:
$(7 \sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
$(14 \sqrt{3})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$

5. Подставим полученные числа в уравнение:
$h^2 + 147 = 588$
$h^2 = 588 - 147$
$h^2 = 441$

6. Найдём высоту $h$, извлекая корень из 441:
$h = \sqrt{441} = 21$

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой высоты равностороннего треугольника $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
$h = \frac{14 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ