Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^{\circ}$. Кроме того, биссектриса, проведённая к любой стороне, также является медианой и высотой.

2. Пусть сторона треугольника $a = 12\sqrt{3}$. Проведённая биссектриса делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 12\sqrt{3}$;
— один из острых углов равен $60^{\circ}$ (угол при основании);
— катет, который нам нужно найти, является биссектрисой (высотой) $h$.

4. Воспользуемся определением синуса: синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin 60^{\circ} = \frac{h}{a}$

5. Выразим $h$:
$h = a \cdot \sin 60^{\circ}$

6. Подставим известные значения ($\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$h = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

7. Выполним вычисления:
$h = \frac{12 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Ответ: 18

Источник: ФИПИ