Задание №9 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 25 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что в левой части уравнения представлена разность квадратов, так как $25 = 5^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 5 = 0$, откуда $x_{1} = 5$;
2) $x + 5 = 0$, откуда $x_{2} = -5$.

Способ 2: Извлечение корня.
Перенесём число $25$ в правую часть уравнения, сменив знак на противоположный:
$x^{2} = 25$
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $25$:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_{1} = 5$, $x_{2} = -5$.

Уравнение имеет два корня: $5$ и $-5$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-5 < 5$, следовательно, меньшим корнем является $-5$.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ