Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^\circ$. Кроме того, биссектриса, проведённая к стороне, также является медианой и высотой.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Биссектриса делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
— один из катетов — это биссектриса, которая по условию равна $h = 9\sqrt{3}$;
— угол, противолежащий этому катету, равен $60^\circ$ (так как это угол равностороннего треугольника).

4. Воспользуемся определением синуса для угла $60^\circ$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin 60^\circ = \frac{h}{a}$

5. Подставим известные значения ($\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{a}$

6. Выразим сторону $a$ из полученной пропорции:
$a \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 9\sqrt{3}$
$a \cdot \sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

7. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$a = 18$

Таким образом, сторона треугольника равна 18.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ