Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 - 4x = y \\ 3x - 4 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Это значит, что мы можем приравнять эти части друг к другу:
$3x^2 - 4x = 3x - 4$

Шаг 2. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$3x^2 - 4x - 3x + 4 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$3x^2 - 7x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим значение $y$, подставив $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 3x - 4$:

1) Если $x_1 = \frac{4}{3}$, то:
$y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0$

2) Если $x_2 = 1$, то:
$y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1$

Шаг 4. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(\frac{4}{3}; 0)$ и $(1; -1)$.

Ответ: (1; -1), (1\frac{1}{3}; 0)

Источник: ФИПИ