Задание №20 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. В системе происходят два процесса: охлаждение горячей воды и плавление льда. Так как теплообменом с окружающей средой мы пренебрегаем, количество теплоты, отданное водой, равно количеству теплоты, полученному льдом.

Дано:
$t_{л} = 0 \text{ °C}$ — начальная температура льда
$t_{в} = 33 \text{ °C}$ — начальная температура воды
$\theta = 0 \text{ °C}$ — конечная температура смеси
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ — удельная теплоемкость воды
$\lambda = 3,3 \cdot 10^{5} \text{ Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда
_________________
Найти: $\frac{m_{в}}{m_{л}}$ — ?

Физические законы и вычисления:

1. Количество теплоты $Q_{1}$, которое выделяется при охлаждении воды от температуры $t_{в}$ до конечной температуры $\theta$:
$Q_{1} = c_{в} \cdot m_{в} \cdot (t_{в} - \theta)$

2. Количество теплоты $Q_{2}$, необходимое для плавления льда массой $m_{л}$, находящегося при температуре плавления $t_{л} = 0 \text{ °C}$:
$Q_{2} = \lambda \cdot m_{л}$

3. Согласно уравнению теплового баланса:
$Q_{1} = Q_{2}$
$c_{в} \cdot m_{в} \cdot (t_{в} - \theta) = \lambda \cdot m_{л}$

4. Выразим искомое отношение масс $\frac{m_{в}}{m_{л}}$ из полученного уравнения:
$\frac{m_{в}}{m_{л}} = \frac{\lambda}{c_{в} \cdot (t_{в} - \theta)}$

5. Подставим числовые значения в рабочую формулу:
$\frac{m_{в}}{m_{л}} = \frac{330000 \text{ Дж/кг}}{4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)} \cdot (33 \text{ °C} - 0 \text{ °C})}$
$\frac{m_{в}}{m_{л}} = \frac{330000}{4200 \cdot 33}$
$\frac{m_{в}}{m_{л}} = \frac{330000}{138600} \approx 2,38$

Проверим размерность: $\frac{\text{Дж/кг}}{\text{Дж/(кг}\cdot\text{°C)} \cdot \text{°C}} = \frac{\text{Дж/кг}}{\text{Дж/кг}} = 1$ (величина безразмерная, что соответствует отношению масс).

Для более точного (красивого) ответа заметим, что $330000 / 33 = 10000$:
$\frac{m_{в}}{m_{л}} = \frac{10000}{4200} = \frac{100}{42} = \frac{50}{21} \approx 2,38$

Ответ: Отношение массы воды к массе льда составляет $\frac{50}{21}$ (или приблизительно $2,38$).

Источник: ФИПИ