Задание №20 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. Поскольку теплообменом с окружающей средой можно пренебречь, количество теплоты, отданное горячей водой, будет равно количеству теплоты, полученному холодной водой.

Дано:
$m_1 = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$ (масса холодной воды)
$t_1 = 25 \text{ °C}$ (начальная температура холодной воды)
$m_2 = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$ (масса горячей воды)
$t_2 = 100 \text{ °C}$ (начальная температура горячей воды)
$c = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)}$ (удельная теплоемкость воды)
--------------------
$\theta - ?$ (конечная температура смеси)

Физические законы и формулы:
1. Количество теплоты, необходимое для нагревания или выделяющееся при охлаждении: $Q = cm(t_{кон} - t_{нач})$.
2. Уравнение теплового баланса: $Q_{пол} + Q_{отд} = 0$, где $Q_{пол}$ — теплота, полученная холодной водой, а $Q_{отд}$ — теплота, отданная горячей водой.

Вывод рабочей формулы:
Холодная вода нагревается от $t_1$ до $\theta$:
$Q_1 = cm_1(\theta - t_1)$
Горячая вода охлаждается от $t_2$ до $\theta$:
$Q_2 = cm_2(\theta - t_2)$
Согласно уравнению теплового баланса:
$cm_1(\theta - t_1) + cm_2(\theta - t_2) = 0$
Разделим обе части уравнения на $c$:
$m_1(\theta - t_1) + m_2(\theta - t_2) = 0$
Раскроем скобки:
$m_1\theta - m_1t_1 + m_2\theta - m_2t_2 = 0$
Сгруппируем слагаемые с искомой величиной $\theta$:
$\theta(m_1 + m_2) = m_1t_1 + m_2t_2$
Отсюда конечная температура смеси:
$\theta = \frac{m_1t_1 + m_2t_2}{m_1 + m_2}$

Расчет:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\theta = \frac{0,4 \text{ кг} \cdot 25 \text{ °C} + 0,1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ °C}}{0,4 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг}}$
$\theta = \frac{10 + 10}{0,5} = \frac{20}{0,5} = 40 \text{ °C}$

Проверим размерность:
$[\theta] = \frac{\text{кг} \cdot \text{°C} + \text{кг} \cdot \text{°C}}{\text{кг}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{°C}}{\text{кг}} = \text{°C}$

Ответ: 40 °C

Источник: ФИПИ