Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи на нахождение средней скорости необходимо использовать определение: средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.

Дано:
$v_{1} = 2 \text{ км/ч}$ — скорость подъёма
$v_{2} = 6 \text{ км/ч}$ — скорость спуска
$S_{1} = S_{2} = S$ — пути подъёма и спуска равны
$v_{ср} - ?$

Анализ и решение:

1. Запишем формулу средней путевой скорости:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь путь, $t_{общ}$ — всё время движения.

2. Весь путь состоит из подъёма и спуска:
$S_{общ} = S_{1} + S_{2} = S + S = 2S$.

3. Общее время движения складывается из времени подъёма $t_{1}$ и времени спуска $t_{2}$:
$t_{общ} = t_{1} + t_{2}$.

4. Выразим время на каждом участке через путь и скорость:
$t_{1} = \frac{S}{v_{1}}$
$t_{2} = \frac{S}{v_{2}}$

5. Подставим выражения для времени в формулу общего времени:
$t_{общ} = \frac{S}{v_{1}} + \frac{S}{v_{2}} = S \cdot (\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}) = S \cdot \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} \cdot v_{2}}$.

6. Теперь подставим $S_{общ}$ и $t_{общ}$ в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{2S}{S \cdot \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} \cdot v_{2}}} = \frac{2 \cdot v_{1} \cdot v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$.

7. Проверим размерность полученной формулы:
$[v_{ср}] = \frac{\text{км/ч} \cdot \text{км/ч}}{\text{км/ч}} = \text{км/ч}$. Формула верна.

8. Вычислим значение:
$v_{ср} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 6}{2 + 6} = \frac{24}{8} = 3 \text{ км/ч}$.

Ответ: $v_{ср} = 3 \text{ км/ч}$

Источник: ФИПИ