Задание №20 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. Поскольку теплообменом с окружающей средой и сосудом мы пренебрегаем, количество теплоты, отданное горячей водой, будет равно количеству теплоты, полученному холодной водой.

Дано:
$m_{1} = 4 \text{ кг}$ — масса горячей воды
$t_{1} = 70 \text{ °C}$ — начальная температура горячей воды
$t_{2} = 30 \text{ °C}$ — начальная температура холодной воды
$\theta = 40 \text{ °C}$ — установившаяся температура смеси
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ — удельная теплоемкость воды (сократится при расчете)

Найти:
$m_{2}$ — ?

Физические законы и формулы:
1) Количество теплоты, которое отдает горячая вода при остывании:
$Q_{отд} = c \cdot m_{1} \cdot (t_{1} - \theta)$

2) Количество теплоты, которое получает холодная вода при нагревании:
$Q_{пол} = c \cdot m_{2} \cdot (\theta - t_{2})$

3) Уравнение теплового баланса:
$Q_{отд} = Q_{пол}$

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражения для теплоты в уравнение баланса:
$c \cdot m_{1} \cdot (t_{1} - \theta) = c \cdot m_{2} \cdot (\theta - t_{2})$

Разделим обе части уравнения на $c$ (удельная теплоемкость воды одинакова для обеих порций):
$m_{1} \cdot (t_{1} - \theta) = m_{2} \cdot (\theta - t_{2})$

Выразим искомую массу холодной воды $m_{2}$:
$m_{2} = \frac{m_{1} \cdot (t_{1} - \theta)}{\theta - t_{2}}$

Подстановка числовых значений:
$m_{2} = \frac{4 \text{ кг} \cdot (70 \text{ °C} - 40 \text{ °C})}{40 \text{ °C} - 30 \text{ °C}}$
$m_{2} = \frac{4 \cdot 30}{10} \text{ кг}$
$m_{2} = \frac{120}{10} \text{ кг} = 12 \text{ кг}$

Проверка размерности:
$[m_{2}] = \frac{\text{кг} \cdot \text{°C}}{\text{°C}} = \text{кг}$

Ответ: 12 кг

Источник: ФИПИ