Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m = 2$ кг
$\Delta x = 2$ см $= 0,02$ м
$g = 10$ м/с²
$k_1 = k_2 = k$
Найти:
$k - ?$

Рассуждение и законы:
1. На однородный стержень действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_{тяж}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс стержня, и две силы упругости $\vec{F}_{упр1}$ и $\vec{F}_{упр2}$, направленные вертикально вверх со стороны каждой из пружин.
2. Так как стержень покоится (находится в равновесии), то согласно первому закону Ньютона векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, уравнение имеет вид:
$F_{упр1} + F_{упр2} - F_{тяж} = 0$
3. Сила тяжести определяется по формуле: $F_{тяж} = mg$.
4. Согласно закону Гука, модуль силы упругости каждой пружины прямо пропорционален её удлинению: $F_{упр} = k \cdot \Delta x$.
5. Поскольку пружины одинаковые и их удлинения равны, то $F_{упр1} = F_{упр2} = k \cdot \Delta x$.

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:
$k \cdot \Delta x + k \cdot \Delta x = mg$
$2 \cdot k \cdot \Delta x = mg$
Отсюда выразим жёсткость одной пружины $k$:
$k = \frac{mg}{2 \cdot \Delta x}$

Вычисления:
$k = \frac{2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 0,02 \text{ м}} = \frac{20}{0,04} \text{ Н/м} = 500 \text{ Н/м}$

Проверка размерности:
$[k] = \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}^2}{\text{м}} = \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: $500$ Н/м

Источник: ФИПИ