Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Поскольку разрыв снаряда происходит мгновенно, внешними силами (силой тяжести и сопротивлением воздуха) за время разрыва можно пренебречь. Система осколков считается замкнутой в горизонтальном направлении.

Дано:
$m_1 = 1 \text{ кг}$ — масса первого осколка;
$m_2 = 1 \text{ кг}$ — масса второго осколка;
$v_1 = 800 \text{ м/с}$ — скорость первого осколка (по направлению движения);
$v_2 = -400 \text{ м/с}$ — скорость второго осколка (направлена в противоположную сторону, поэтому берем со знаком «минус» при проецировании на ось движения).
Найти:
$v_0$ — ? (скорость снаряда до разрыва).

Математическая модель и вычисления:
1. Масса целого снаряда до разрыва равна сумме масс его осколков:
$M = m_1 + m_2$.
Подставим значения: $M = 1 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 2 \text{ кг}$.

2. Запишем закон сохранения импульса в векторном виде:
$M \vec{v_0} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$.

3. Выберем координатную ось $OX$, направленную вдоль движения снаряда до разрыва. Спроецируем векторное уравнение на эту ось:
$M v_0 = m_1 v_1 - m_2 |v_2|$,
где $v_1$ — скорость осколка, летящего вперед, а $|v_2|$ — модуль скорости осколка, летящего назад.

4. Выразим искомую скорость $v_0$:
$v_0 = \frac{m_1 v_1 - m_2 |v_2|}{M}$.
Подставим $M = m_1 + m_2$:
$v_0 = \frac{m_1 v_1 - m_2 |v_2|}{m_1 + m_2}$.

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$v_0 = \frac{1 \text{ кг} \cdot 800 \text{ м/с} - 1 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м/с}}{1 \text{ кг} + 1 \text{ кг}}$;
$v_0 = \frac{800 \text{ кг} \cdot \text{ м/с} - 400 \text{ кг} \cdot \text{ м/с}}{2 \text{ кг}}$;
$v_0 = \frac{400 \text{ кг} \cdot \text{ м/с}}{2 \text{ кг}} = 200 \text{ м/с}$.

Проверка размерности: $[v_0] = \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}}{\text{кг}} = \text{м/с}$. Результат соответствует физическому смыслу.

Ответ: 200 м/с

Источник: ФИПИ