Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Когда осколок падает с некоторой высоты, его начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию и во внутреннюю энергию (нагрев) из-за работы сил сопротивления воздуха.

Дано:
$h = 103$ м
$v_0 = 0$ м/с
$v = 40$ м/с
$g = 10$ м/с² (ускорение свободного падения)
$c = 460$ Дж/(кг $\cdot$ °C) (удельная теплоемкость стали согласно справочным данным ОГЭ)
Найти:
$\Delta t - ?$

Математическая модель и законы:
1. Полная механическая энергия тела в начальный момент времени (на высоте $h$) равна его потенциальной энергии:
$E_1 = mgh$.
2. Полная механическая энергия тела у поверхности Земли равна его кинетической энергии:
$E_2 = \frac{mv^2}{2}$.
3. Согласно условию задачи, изменение внутренней энергии осколка $\Delta U$ равно работе сил сопротивления воздуха $A_{сопр}$. По закону сохранения энергии, разность между начальной и конечной механической энергией идет на изменение внутренней энергии:
$\Delta U = E_1 - E_2$.
4. Формула для изменения внутренней энергии при нагревании:
$\Delta U = cm\Delta t$.

Вывод рабочей формулы:
Приравняем выражения для изменения внутренней энергии:
$cm\Delta t = mgh - \frac{mv^2}{2}$.
Заметим, что масса $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому на неё можно сократить:
$c\Delta t = gh - \frac{v^2}{2}$.
Отсюда выражаем изменение температуры:
$\Delta t = \frac{gh - \frac{v^2}{2}}{c}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\Delta t = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 103 \text{ м} - \frac{(40 \text{ м/с})^2}{2}}{460 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)}}$
$\Delta t = \frac{1030 - \frac{1600}{2}}{460} = \frac{1030 - 800}{460} = \frac{230}{460} = 0,5$ °C.

Проверка размерности:
$[\Delta t] = \frac{\text{м/с}^2 \cdot \text{м} - (\text{м/с})^2}{\text{Дж/(кг} \cdot \text{°C)}} = \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{Дж/(кг} \cdot \text{°C)}} = \frac{\text{Дж/кг}}{\text{Дж/(кг} \cdot \text{°C)}} = \text{°C}$.

Ответ: $\Delta t = 0,5$ °C.

Источник: ФИПИ