Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем превращение энергии. Когда вода находится на вершине водопада, она обладает потенциальной энергией. При падении эта энергия переходит в кинетическую, а при ударе о подножие водопада — во внутреннюю энергию (нагрев воды) и другие виды энергии (звук, разбрызгивание). По условию, только часть потенциальной энергии ($84\%$) расходуется на нагревание воды.

Дано:
$t_1 = 20 \text{ } ^\circ\text{C}$
$h = 100 \text{ м}$
$\eta = 0,84$ (коэффициент полезного действия или доля энергии)
$g = 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$t_2 - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Потенциальная энергия воды массой $m$ на вершине водопада высотой $h$ рассчитывается по формуле:
$E_p = mgh$

2. Количество теплоты, необходимое для нагревания этой же массы воды на разность температур $\Delta t = t_2 - t_1$, равно:
$Q = cm(t_2 - t_1)$

3. Согласно условию задачи, на нагревание идет часть потенциальной энергии:
$Q = \eta \cdot E_p$

4. Подставим выражения для $Q$ и $E_p$ в уравнение теплового баланса:
$cm(t_2 - t_1) = \eta mgh$

5. Заметим, что масса $m$ сокращается в обеих частях уравнения. Это означает, что изменение температуры не зависит от того, сколько воды падает. Выразим изменение температуры $\Delta t$:
$c(t_2 - t_1) = \eta gh$
$t_2 - t_1 = \frac{\eta gh}{c}$

6. Отсюда конечная температура воды $t_2$:
$t_2 = t_1 + \frac{\eta gh}{c}$

7. Подставим числовые значения в полученную рабочую формулу:
$t_2 = 20 \text{ } ^\circ\text{C} + \frac{0,84 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м}}{4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}}$
$t_2 = 20 \text{ } ^\circ\text{C} + \frac{840}{4200} \text{ } ^\circ\text{C}$
$t_2 = 20 \text{ } ^\circ\text{C} + 0,2 \text{ } ^\circ\text{C} = 20,2 \text{ } ^\circ\text{C}$

Проверка размерности:
$[t_2] = ^\circ\text{C} + \frac{\frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{м}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}} = ^\circ\text{C} + \frac{\frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2}{\text{с}^2 \cdot \text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}} = ^\circ\text{C} + ^\circ\text{C} = ^\circ\text{C}$

Ответ: $20,2 \text{ } ^\circ\text{C}$

Источник: ФИПИ