Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем процессы, происходящие в системе. Электрический ток, проходя по спиралям плитки, выделяет количество теплоты (полная энергия), часть которой (полезная энергия) идет на нагревание воды до температуры кипения.

Дано:
$U = 220 \text{ В}$
$m = 1 \text{ кг}$
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C}$
$t_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$\tau = 174 \text{ с}$
$\eta = 80\% = 0,8$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$R_1 = R_2 = R$
Спирали соединены последовательно.
--------------------
$R - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Полезное количество теплоты $Q_{\text{пол}}$, необходимое для нагревания воды от $t_1$ до $t_2$, рассчитывается по формуле:
$Q_{\text{пол}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

2. Полная энергия (количество теплоты $Q_{\text{полн}}$), выделяемая электрическим током в цепи, определяется законом Джоуля-Ленца:
$Q_{\text{полн}} = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}} \cdot \tau$
где $R_{\text{общ}}$ — общее сопротивление плитки. При последовательном соединении двух одинаковых спиралей:
$R_{\text{общ}} = R + R = 2R$
Следовательно:
$Q_{\text{полн}} = \frac{U^2}{2R} \cdot \tau$

3. Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной энергии к полной:
$\eta = \frac{Q_{\text{пол}}}{Q_{\text{полн}}}$
Подставим выражения для энергий в формулу КПД:
$\eta = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\frac{U^2 \cdot \tau}{2R}} = \frac{2R \cdot c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{U^2 \cdot \tau}$

4. Выразим искомое сопротивление одной спирали $R$ из полученного уравнения:
$R = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot \tau}{2 \cdot c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет:
$R = \frac{0,8 \cdot 220^2 \cdot 174}{2 \cdot 4200 \cdot 1 \cdot (100 - 20)}$
$R = \frac{0,8 \cdot 48400 \cdot 174}{2 \cdot 4200 \cdot 80}$
$R = \frac{6737280}{672000} \approx 10,0257... \text{ Ом}$
Округлим результат до целого числа согласно точности исходных данных: $R \approx 10 \text{ Ом}$.

Проверка размерности:
$[R] = \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}} \cdot \text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} = \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{Дж}} = \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{В} \cdot \text{А} \cdot \text{с}} = \frac{\text{В}}{\text{А}} = \text{Ом}$

Ответ: $R = 10 \text{ Ом}$

Источник: ФИПИ