Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$P = 100 \text{ кВт} = 100 \cdot 10^{3} \text{ Вт}$
$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
$\Delta t = 1500 \text{ °C}$
$c = 500 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)}$ (удельная теплоемкость стали)
$\lambda = 8,4 \cdot 10^{4} \text{ Дж/кг}$ (удельная теплота плавления стали)
$\eta = 100 \%$ (потерями энергии пренебречь)
--------------------
$\tau - ?$

Анализ и физические законы:
1. Для того чтобы расплавить сталь, её сначала нужно нагреть до температуры плавления, а затем сообщить энергию непосредственно для процесса плавления. Общее количество теплоты $Q$, необходимое для этого, складывается из двух величин:
$Q = Q_{1} + Q_{2}$, где:
$Q_{1} = c \cdot m \cdot \Delta t$ — количество теплоты, затраченное на нагревание стали;
$Q_{2} = \lambda \cdot m$ — количество теплоты, затраченное на плавление стали при температуре плавления.

2. Энергию для нагрева и плавления поставляет электропечь. Работа электрического тока (выделяемая теплота) определяется через мощность печи $P$ и время её работы $\tau$:
$A = P \cdot \tau$

3. Так как потерями энергии мы пренебрегаем, вся работа печи идет на нагрев и плавление слитка:
$A = Q$
$P \cdot \tau = c \cdot m \cdot \Delta t + \lambda \cdot m$

Вывод рабочей формулы:
Вынесем массу $m$ за скобки в правой части уравнения:
$P \cdot \tau = m \cdot (c \cdot \Delta t + \lambda)$
Отсюда выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{m \cdot (c \cdot \Delta t + \lambda)}{P}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$\tau = \frac{1000 \text{ кг} \cdot (500 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)} \cdot 1500 \text{ °C} + 8,4 \cdot 10^{4} \text{ Дж/кг})}{100 \cdot 10^{3} \text{ Вт}}$
$\tau = \frac{1000 \cdot (750000 + 84000)}{100000}$
$\tau = \frac{1000 \cdot 834000}{100000}$
$\tau = \frac{834000000}{100000} = 8340 \text{ с}$

Переведем полученное время в часы и минуты для наглядности (по желанию):
$8340 \text{ с} = 139 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 19 \text{ мин}$.

Ответ: $\tau = 8340 \text{ с}$

Источник: ФИПИ