Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо связать электрическую энергию, потребляемую чайником, с теплотой, идущей на нагревание воды, с учётом коэффициента полезного действия (КПД).

Дано:
$P_{nom} = 2,4 \text{ кВт} = 2400 \text{ Вт}$
$U_{nom} = 240 \text{ В}$
$U = 120 \text{ В}$
$t_1 = 18 \text{ }^\circ\text{C}$
$t_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$\tau = 7 \text{ мин} = 420 \text{ с}$
$\eta = 82\% = 0,82$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоёмкость воды)
--------------------
$m - ?$

Анализ и формулы:
1. Мощность электроприбора зависит от напряжения в сети и его сопротивления. Сопротивление чайника $R$ постоянно и находится из номинальных характеристик: $P_{nom} = \frac{U_{nom}^2}{R}$, откуда $R = \frac{U_{nom}^2}{P_{nom}}$.
2. Фактическая мощность чайника $P$ при напряжении $U$ будет равна: $P = \frac{U^2}{R}$.
Подставим выражение для $R$: $P = \frac{U^2 \cdot P_{nom}}{U_{nom}^2} = P_{nom} \cdot \left( \frac{U}{U_{nom}} \right)^2$.
3. Полная электрическая работа (затраченная энергия) за время $\tau$: $A_{zat} = P \cdot \tau$.
4. Полезная теплота, необходимая для нагрева воды массой $m$ от $t_1$ до $t_2$: $Q_{pol} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$.
5. Коэффициент полезного действия: $\eta = \frac{Q_{pol}}{A_{zat}}$.
Объединим формулы: $\eta = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{P \cdot \tau}$.

Вывод рабочей формулы:
Выразим массу воды $m$:
$m = \frac{\eta \cdot P \cdot \tau}{c \cdot (t_2 - t_1)}$
Подставим выражение для фактической мощности $P$:
$m = \frac{\eta \cdot P_{nom} \cdot U^2 \cdot \tau}{U_{nom}^2 \cdot c \cdot (t_2 - t_1)}$

Вычисления:
Сначала найдем фактическую мощность $P$:
$P = 2400 \text{ Вт} \cdot \left( \frac{120 \text{ В}}{240 \text{ В}} \right)^2 = 2400 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2400 \cdot 0,25 = 600 \text{ Вт}$.
Теперь вычислим массу:
$m = \frac{0,82 \cdot 600 \text{ Вт} \cdot 420 \text{ с}}{4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot (100 \text{ }^\circ\text{C} - 18 \text{ }^\circ\text{C})}$
$m = \frac{0,82 \cdot 600 \cdot 420}{4200 \cdot 82}$
$m = \frac{0,82 \cdot 600 \cdot 420}{344400}$
Заметим, что $0,82 / 82 = 0,01$, а $420 / 4200 = 0,1$:
$m = \frac{0,01 \cdot 600 \cdot 0,1}{1} = 0,6 \text{ кг}$.

Ответ: $m = 0,6 \text{ кг}$

Источник: ФИПИ