Задание №20 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем два последовательных тепловых процесса: нагревание льда и его плавление. Ключевым условием является постоянство мощности теплопередачи $P$, то есть количество теплоты, получаемое льдом в единицу времени, неизменно.

Дано:
$t_1 = -20 \text{ °C}$ — начальная температура льда
$t_2 = 0 \text{ °C}$ — температура плавления льда
$\tau_1 = 5 \text{ мин} = 300 \text{ с}$ — время нагревания
$c = 2100 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ — удельная теплоемкость льда
$\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда
$P = \text{const}$
Найти:
$\tau_2$ — ? (время плавления)

Математическое описание и расчет:

1. Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания льда массой $m$ от температуры $t_1$ до температуры плавления $t_2$, рассчитывается по формуле:
$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

2. Мощность теплопередачи $P$ определяется как отношение полученной теплоты ко времени процесса:
$P = \frac{Q_1}{\tau_1} = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\tau_1}$

3. Количество теплоты $Q_2$, необходимое для полного плавления этого же куска льда при температуре $0 \text{ °C}$, равно:
$Q_2 = \lambda \cdot m$

4. Так как мощность теплопередачи $P$ неизменна, время плавления $\tau_2$ можно выразить через ту же мощность:
$P = \frac{Q_2}{\tau_2} \Rightarrow \tau_2 = \frac{Q_2}{P}$

5. Подставим выражение для мощности из шага 2 в формулу для времени из шага 4:
$\tau_2 = \frac{\lambda \cdot m}{\frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\tau_1}} = \frac{\lambda \cdot \tau_1}{c \cdot (t_2 - t_1)}$
Заметим, что масса $m$ сокращается, значит, время плавления не зависит от массы куска льда.

6. Вычислим искомое время:
$\tau_2 = \frac{3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 5 \text{ мин}}{2100 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)} \cdot (0 \text{ °C} - (-20 \text{ °C}))}$
$\tau_2 = \frac{330000 \cdot 5}{2100 \cdot 20} = \frac{1650000}{42000} \approx 39,285... \text{ мин}$

Округлим полученный результат до целых (или до десятых, если требуется высокая точность). В задачах ОГЭ обычно допустимо округление до целых, если не указано иное.
$\tau_2 \approx 39,3 \text{ мин}$

Ответ: $\tau_2 \approx 39,3 \text{ мин}$

Источник: ФИПИ