Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем силы, действующие на лётчика в верхней точке траектории (мёртвой петли). Самолёт движется по окружности, значит, он обладает центростремительным ускорением.

Дано:
$R = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$g = 10 \text{ м/с}^2$
$P = 0$ (условие невесомости)
Найти:
$v - ?$

Анализ и законы:
1. На лётчика в верхней точке петли действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны сиденья кресла.
2. Согласно второму закону Ньютона: $m\vec{a} = \sum \vec{F}$. В проекции на вертикальную ось, направленную к центру петли (вниз):
$ma_n = mg + N$, где $a_n = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.
3. По третьему закону Ньютона сила, с которой лётчик давит на опору (вес $P$), по модулю равна силе реакции опоры: $P = N$.
4. Состояние невесомости означает, что вес тела равен нулю: $P = 0$. Следовательно, и сила реакции опоры $N = 0$. Это происходит в тот момент, когда лётчик перестаёт прижиматься к креслу, и всё необходимое центростремительное ускорение обеспечивается только силой тяжести.

Вывод формулы:
Подставим условие $N = 0$ в уравнение второго закона Ньютона:
$m \cdot \frac{v^2}{R} = mg$
Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:
$\frac{v^2}{R} = g$
Отсюда выразим скорость:
$v^2 = g \cdot R$
$v = \sqrt{g \cdot R}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$v = \sqrt{10 \text{ м/с}^2 \cdot 1000 \text{ м}} = \sqrt{10000 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 100 \text{ м/с}$

Переведём полученное значение в км/ч для наглядности (по желанию):
$100 \text{ м/с} \cdot 3,6 = 360 \text{ км/ч}$.

Ответ: $v = 100 \text{ м/с}$

Источник: ФИПИ