Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$\eta = 60\%$ = $0,6$
$m = 0,6 \text{ кг}$
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C}$
$t_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$U = 220 \text{ В}$
$\tau = 11 \text{ мин} = 660 \text{ с}$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$L = 2,3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$ (удельная теплота парообразования воды)
$R - ?$

Анализ и физические законы:
1. При протекании электрического тока через нагревательный элемент чайника выделяется количество теплоты $Q_{\text{полн}}$, которое определяется законом Джоуля-Ленца: $Q_{\text{полн}} = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$.
2. Полезное количество теплоты $Q_{\text{пол}}$ расходуется на два процесса: нагревание воды от начальной температуры до температуры кипения и последующее полное испарение (выкипание) всей массы воды.
$Q_{\text{нагр}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_{\text{исп}} = L \cdot m$
Следовательно, $Q_{\text{пол}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) + L \cdot m = m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L)$.
3. Коэффициент полезного действия (КПД) связывает полезную теплоту и полную энергию, затраченную прибором: $\eta = \frac{Q_{\text{пол}}}{Q_{\text{полн}}}$.

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражения для теплоты в формулу КПД:
$\eta = \frac{m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L)}{\frac{U^2}{R} \cdot \tau}$
Преобразуем выражение, чтобы выразить сопротивление $R$:
$\eta = \frac{m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L) \cdot R}{U^2 \cdot \tau}$
Отсюда: $R = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot \tau}{m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L)}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{0,6 \cdot 220^2 \cdot 660}{0,6 \cdot (4200 \cdot (100 - 20) + 2,3 \cdot 10^6)}$
Сократим на $0,6$:
$R = \frac{48400 \cdot 660}{4200 \cdot 80 + 2300000}$
$R = \frac{31944000}{336000 + 2300000}$
$R = \frac{31944000}{2636000}$
$R \approx 12,118... \text{ Ом}$
Округлим до целых или десятых долей (согласно стандартной точности): $R \approx 12,1 \text{ Ом}$.

Проверка размерности:
$[R] = \frac{1 \cdot \text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot (\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}} \cdot ^\circ\text{C} + \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})} = \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{Дж}} = \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{В} \cdot \text{А} \cdot \text{с}} = \frac{\text{В}}{\text{А}} = \text{Ом}$.

Ответ: $R \approx 12,1 \text{ Ом}$.

Источник: ФИПИ