Задание №22 — ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо связать электрические характеристики реостата (напряжение и силу тока) с его геометрическими параметрами (длиной и площадью сечения) и массой.

Дано:
$S = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$U = 24 \text{ В}$
$I = 4 \text{ А}$
$\rho_{эл} = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (удельное электрическое сопротивление железа)
$\rho_{пл} = 7800 \text{ кг/м}^3$ (плотность железа)
$m - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Согласно закону Ома для участка цепи, сопротивление реостата $R$ равно:
$R = \frac{U}{I}$

2. Сопротивление проводника также зависит от его размеров и материала:
$R = \rho_{эл} \cdot \frac{l}{S}$, где $l$ — длина проволоки, $S$ — площадь её поперечного сечения.

3. Приравняем правые части формул для сопротивления:
$\frac{U}{I} = \rho_{эл} \cdot \frac{l}{S}$
Отсюда выразим длину проволоки $l$:
$l = \frac{U \cdot S}{I \cdot \rho_{эл}}$

4. Масса проволоки $m$ определяется через её плотность $\rho_{пл}$ и объём $V$:
$m = \rho_{пл} \cdot V$
Так как проволока имеет форму цилиндра, её объём равен произведению площади сечения на длину:
$V = S \cdot l$
Следовательно: $m = \rho_{пл} \cdot S \cdot l$

5. Подставим выражение для длины $l$ в формулу массы:
$m = \rho_{пл} \cdot S \cdot \frac{U \cdot S}{I \cdot \rho_{эл}} = \frac{\rho_{пл} \cdot U \cdot S^2}{I \cdot \rho_{эл}}$

6. Проверим размерность (используя $S$ в $\text{мм}^2$, так как в удельном сопротивлении $\rho_{эл}$ также используются $\text{мм}^2$):
$[m] = \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \text{В} \cdot (\text{мм}^2)^2 \cdot \frac{1}{\text{А} \cdot \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} \cdot \frac{\text{В}}{\text{А} \cdot \text{Ом}} \cdot \text{мм}^2 = \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} \cdot 1 \cdot \text{м}^2 = \text{кг}$

7. Выполним расчёт:
$m = \frac{7800 \cdot 24 \cdot 2^2}{4 \cdot 0,1} = \frac{7800 \cdot 24 \cdot 4}{0,4} = 7800 \cdot 24 \cdot 10 = 1872000 \text{ мг} = 1,872 \text{ кг}$
Примечание: при расчёте мы использовали $S = 2 \text{ мм}^2$, так как $\rho_{эл}$ дана в соответствующих единицах.

Ответ: 1,872 кг

Источник: ФИПИ