Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Разберем физические процессы, описанные в задаче. Шарик движется в воде равномерно. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На шарик действуют: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз, выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{А}$, направленная вверх, и сила сопротивления среды $F_{сопр}$, направленная против движения.

Выделение энергии при движении происходит за счет работы силы сопротивления. Согласно закону сохранения энергии, количество выделившейся теплоты $Q$ равно работе силы сопротивления $A_{сопр}$ по модулю: $Q = |A_{сопр}|$. Работа постоянной силы при прямолинейном движении вычисляется как $A = F \cdot s$, следовательно, $F_{сопр} = \frac{Q}{h}$, где $h$ — пройденный путь.

Поскольку шарик движется равномерно, возможны два случая: движение вниз (если плотность шарика больше плотности воды) или движение вверх (если плотность шарика меньше). Проверим направление. Сила сопротивления $F_{сопр} = \frac{24,84 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{6 \text{ м}} = 4,14 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$. Выталкивающая сила $F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^{3} \cdot 10 \text{ м/с}^{2} \cdot 0,04 \cdot 10^{-6} \text{ м}^{3} = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$. Так как сила сопротивления велика, а сила Архимеда мала, шарик явно тяжелее воды и движется вниз.

Дано:
$V = 0,04 \text{ см}^{3} = 0,04 \cdot 10^{-6} \text{ м}^{3} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ м}^{3}$
$h = 6 \text{ м}$
$Q = 24,84 \text{ мДж} = 24,84 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$
$\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^{3}$ (плотность воды)
$g = 10 \text{ м/с}^{2}$
$\rho - ?$

Математическое описание и вывод формулы:
1) При равномерном движении вниз условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось (направленную вниз):
$F_{тяж} - F_{А} - F_{сопр} = 0$
Отсюда: $F_{тяж} = F_{А} + F_{сопр}$
2) Распишем каждую силу:
Сила тяжести: $F_{тяж} = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g$
Сила Архимеда: $F_{А} = \rho_{в} \cdot V \cdot g$
Сила сопротивления: $F_{сопр} = \frac{Q}{h}$
3) Подставим выражения в уравнение равновесия:
$\rho \cdot V \cdot g = \rho_{в} \cdot V \cdot g + \frac{Q}{h}$
4) Выразим плотность материала $\rho$:
Разделим обе части уравнения на $V \cdot g$:
$\rho = \rho_{в} + \frac{Q}{h \cdot V \cdot g}$

Вычисления:
$\rho = 1000 \text{ кг/м}^{3} + \frac{24,84 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{6 \text{ м} \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ м}^{3} \cdot 10 \text{ м/с}^{2}}$
$\rho = 1000 + \frac{24,84 \cdot 10^{-3}}{240 \cdot 10^{-8}} = 1000 + \frac{24,84 \cdot 10^{-3}}{2,4 \cdot 10^{-6}}$
$\rho = 1000 + 10,35 \cdot 10^{3} = 1000 + 10350 = 11350 \text{ кг/м}^{3}$

Проверка размерности:
$[\rho] = \text{ кг/м}^{3} + \frac{\text{Дж}}{\text{м} \cdot \text{м}^{3} \cdot \text{м/с}^{2}} = \text{ кг/м}^{3} + \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{м}^{4} \cdot \text{м/с}^{2}} = \text{ кг/м}^{3} + \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}^{2}}{\text{м}^{3} \cdot \text{м/с}^{2}} = \text{ кг/м}^{3}$

Ответ: $\rho = 11350 \text{ кг/м}^{3}$

Источник: ФИПИ