Задание №20 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$a = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$ — ребро кубика;
$h_w = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$ — глубина погружения в воду;
$\rho_w = 1000 \text{ кг/м}^3$ — плотность воды;
$\rho_k = 800 \text{ кг/м}^3$ — плотность керосина;
$g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения.
Найти:
$\rho_c$ — ?

Рассуждение и формулы:
1. Кубик плавает на границе раздела двух жидкостей и находится в равновесии. Согласно первому закону Ньютона, сумма сил, действующих на кубик, равна нулю. На кубик действуют: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.
Условие равновесия: $F_g = F_A$.

2. Сила тяжести кубика: $F_g = m \cdot g = \rho_c \cdot V \cdot g$, где $V = a^3$ — полный объём кубика.

3. Выталкивающая сила в данном случае складывается из сил Архимеда, действующих на части кубика в разных жидкостях:
$F_A = F_{A1} + F_{A2}$, где:
$F_{A1} = \rho_w \cdot g \cdot V_w$ — сила со стороны воды;
$F_{A2} = \rho_k \cdot g \cdot V_k$ — сила со стороны керосина.

4. Объём части кубика в воде: $V_w = S \cdot h_w = a^2 \cdot h_w$.
Объём части кубика в керосине: $V_k = S \cdot h_k = a^2 \cdot (a - h_w)$, так как кубик полностью погружен в систему жидкостей (по условию керосин выше верхней грани).

5. Подставим выражения в условие равновесия:
$\rho_c \cdot a^3 \cdot g = \rho_w \cdot g \cdot a^2 \cdot h_w + \rho_k \cdot g \cdot a^2 \cdot (a - h_w)$.

6. Разделим обе части уравнения на $g \cdot a^2$:
$\rho_c \cdot a = \rho_w \cdot h_w + \rho_k \cdot (a - h_w)$.

7. Выведем итоговую формулу для плотности кубика:
$\rho_c = \frac{\rho_w \cdot h_w + \rho_k \cdot (a - h_w)}{a}$.

Вычисления:
$\rho_c = \frac{1000 \cdot 0,02 + 800 \cdot (0,1 - 0,02)}{0,1}$
$\rho_c = \frac{20 + 800 \cdot 0,08}{0,1} = \frac{20 + 64}{0,1} = \frac{84}{0,1} = 840 \text{ (кг/м}^3)$.

Проверка размерности:
$[\rho_c] = \frac{\text{кг/м}^3 \cdot \text{м} + \text{кг/м}^3 \cdot \text{м}}{\text{м}} = \frac{\text{кг/м}^2}{\text{м}} = \text{кг/м}^3$.

Ответ: 840 кг/м³

Источник: ФИПИ