Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. При прохождении пули через преграду её кинетическая энергия уменьшается. Разность между начальной и конечной кинетическими энергиями равна работе сил сопротивления, которая превращается в суммарное количество теплоты $Q_{общ}$, выделившееся при ударе. Часть этого тепла идёт на нагревание самой пули ($Q_{пули}$), а остальная часть — на нагревание преграды и окружающую среду.

Дано:
$\upsilon_{1} = 200 \frac{м}{с}$
$\upsilon_{2} = 100 \frac{м}{с}$
$\Delta t = 75 \text{ °C}$
$c = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоёмкость свинца — табличное значение)
$\eta - ?$ (доля теплоты, пошедшая на нагревание)

Физические закономерности и формулы:
1. Изменение кинетической энергии пули (общее количество выделившейся теплоты):
$Q_{общ} = \Delta E_{к} = \frac{m \upsilon_{1}^{2}}{2} - \frac{m \upsilon_{2}^{2}}{2} = \frac{m}{2} (\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{2}^{2})$
2. Количество теплоты, пошедшее на нагревание пули:
$Q_{пули} = c m \Delta t$
3. Искомая доля теплоты (отношение полезного тепла к общему):
$\eta = \frac{Q_{пули}}{Q_{общ}}$

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражения для $Q_{пули}$ и $Q_{общ}$ в формулу для $\eta$:
$\eta = \frac{c m \Delta t}{\frac{m}{2} (\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{2}^{2})}$
Масса пули $m$ сокращается, что логично, так как доля распределения энергии не зависит от массы тела:
$\eta = \frac{2 c \Delta t}{\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{2}^{2}}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$\eta = \frac{2 \cdot 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 75 \text{ °C}}{(200 \frac{м}{с})^{2} - (100 \frac{м}{с})^{2}} = \frac{260 \cdot 75}{40000 - 10000} = \frac{19500}{30000}$
$\eta = 0,65$
Чтобы выразить в процентах: $0,65 \cdot 100\% = 65\%$.

Проверка размерности:
$[\eta] = \frac{\frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot \text{°C}}{(\frac{м}{с})^{2}} = \frac{\frac{Дж}{кг}}{\frac{м^{2}}{с^{2}}} = \frac{\frac{кг \cdot м^{2}}{с^{2} \cdot кг}}{\frac{м^{2}}{с^{2}}} = 1$ (величина безразмерная).

Ответ: 0,65 (или 65%)

Источник: ФИПИ