Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо найти отношение полезной энергии, затраченной на нагревание и испарение воды, к полной электрической энергии, которую потребил чайник из сети.

Дано:
$R = 12 \text{ Ом}$
$m = 0,6 \text{ кг}$
$t_1 = 20 \text{ }^\circ\text{C}$
$t_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$U = 220 \text{ В}$
$\tau = 11 \text{ мин} = 660 \text{ с}$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
$L = 2,3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$ (удельная теплота парообразования воды)
Найти:
$\eta - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Полная энергия $Q_{\text{полн}}$, выделяемая нагревательным элементом чайника при прохождении электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца:
$Q_{\text{полн}} = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$

2. Полезная энергия $Q_{\text{пол}}$ расходуется на два процесса: нагревание воды от начальной температуры до температуры кипения и последующее полное превращение воды в пар:
$Q_{\text{пол}} = Q_{\text{нагр}} + Q_{\text{исп}}$
$Q_{\text{нагр}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_{\text{исп}} = L \cdot m$
Следовательно: $Q_{\text{пол}} = m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L)$

3. Коэффициент полезного действия (КПД) чайника равен отношению полезной энергии к полной:
$\eta = \frac{Q_{\text{пол}}}{Q_{\text{полн}}} \cdot 100\%$
Подставим выражения в общую формулу:
$\eta = \frac{m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L)}{\frac{U^2}{R} \cdot \tau} \cdot 100\% = \frac{m \cdot (c \cdot (t_2 - t_1) + L) \cdot R}{U^2 \cdot \tau} \cdot 100\%$

4. Проверим размерность полученной формулы:
$[\eta] = \frac{\text{кг} \cdot (\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}} \cdot ^\circ\text{C} + \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot \text{Ом}}{\text{В}^2 \cdot \text{с}} = \frac{\text{Дж} \cdot \text{Ом}}{\text{В}^2 \cdot \text{с}} = \frac{\text{Дж} \cdot \frac{\text{В}}{\text{А}}}{\text{В}^2 \cdot \text{с}} = \frac{\text{Дж}}{\text{В} \cdot \text{А} \cdot \text{с}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Вт} \cdot \text{с}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж}} = 1$

5. Подставим числовые значения:
$Q_{\text{пол}} = 0,6 \cdot (4200 \cdot (100 - 20) + 2,3 \cdot 10^6) = 0,6 \cdot (336000 + 2300000) = 0,6 \cdot 2636000 = 1581600 \text{ Дж}$
$Q_{\text{полн}} = \frac{220^2}{12} \cdot 660 = \frac{48400}{12} \cdot 660 = 48400 \cdot 55 = 2662000 \text{ Дж}$
$\eta = \frac{1581600}{2662000} \cdot 100\% \approx 0,5941 \cdot 100\% \approx 59,4\%$

Ответ: $\eta \approx 59,4\%$

Источник: ФИПИ