Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем, как изменится общая мощность системы при последовательном соединении нагревателей, и рассчитаем количество теплоты, необходимое для нагрева воды.

Дано:
$P_1 = P_2 = P = 400$ Вт — мощность одного нагревателя;
$V = 1$ л $= 1 \cdot 10^{-3}$ м³ — объём воды;
$\Delta t = 40$ °C — изменение температуры воды;
$\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды;
$c = 4200$ Дж/(кг·°C) — удельная теплоёмкость воды.
Найти:
$\tau$ — ?

Анализ и формулы:
1. Мощность одного нагревателя при включении в сеть с напряжением $U$ выражается формулой: $P = \frac{U^2}{R}$, где $R$ — сопротивление одного нагревателя.
Отсюда сопротивление одного нагревателя: $R = \frac{U^2}{P}$.
2. При последовательном соединении двух одинаковых нагревателей их общее сопротивление равно: $R_{общ} = R + R = 2R$.
3. Общая мощность системы при последовательном соединении в ту же сеть ($U = const$):
$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{U^2}{2R}$.
Заметим, что $\frac{U^2}{R} = P$, следовательно: $P_{общ} = \frac{P}{2}$.
4. Количество теплоты $Q$, необходимое для нагрева воды массой $m$:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.
Массу воды найдем через плотность и объём: $m = \rho \cdot V$.
5. Согласно закону сохранения энергии (пренебрегая потерями), работа электрического тока $A$ за время $\tau$ полностью идет на нагрев воды:
$A = Q$
$P_{общ} \cdot \tau = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t$.

Вывод рабочей формулы:
$\frac{P}{2} \cdot \tau = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t$
$\tau = \frac{2 \cdot c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta t}{P}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в систему СИ:
$\tau = \frac{2 \cdot 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,001 \text{ м}^3 \cdot 40 \text{ °C}}{400 \text{ Вт}}$
$\tau = \frac{2 \cdot 4200 \cdot 1 \cdot 40}{400} = \frac{336000}{400} = 840$ с.

Переведем результат в минуты для удобства:
$840 \text{ с} = \frac{840}{60} \text{ мин} = 14$ мин.

Ответ: 840 с (или 14 мин).

Источник: ФИПИ