Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$R_1 = 10$ Ом
$R_2 = 10$ Ом
$U = 220$ В
$m_1 = 1$ кг (масса воды)
$m_2 = 0,3$ кг (масса кастрюли)
$t = 148$ с (время нагрева)
$t_{кип} = 100 \text{ } ^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$c_1 = 4200$ Дж/(кг$\cdot^\circ\text{C}$) (удельная теплоемкость воды)
$c_2 = 920$ Дж/(кг$\cdot^\circ\text{C}$) (удельная теплоемкость алюминия)
Найти:
$t_0$ — ?

Рассуждение и формулы:

1. При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных спиралей:
$R_{общ} = R_1 + R_2$

2. Согласно закону Джоуля — Ленца, количество теплоты $Q_{полн}$, выделяемое электроплиткой за время $t$, вычисляется по формуле:
$Q_{полн} = \frac{U^2}{R_{общ}} \cdot t$

3. По условию задачи потерями энергии можно пренебречь, значит, вся выделившаяся теплота пошла на нагревание воды и кастрюли от начальной температуры $t_0$ до температуры кипения $t_{кип}$:
$Q_{полн} = Q_{воды} + Q_{каст}$

4. Количество теплоты, необходимое для нагрева воды:
$Q_{воды} = c_1 \cdot m_1 \cdot (t_{кип} - t_0)$
Количество теплоты, необходимое для нагрева алюминиевой кастрюли:
$Q_{каст} = c_2 \cdot m_2 \cdot (t_{кип} - t_0)$

5. Объединим формулы:
$\frac{U^2}{R_1 + R_2} \cdot t = (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2) \cdot (t_{кип} - t_0)$

6. Выразим разность температур:
$t_{кип} - t_0 = \frac{U^2 \cdot t}{(R_1 + R_2) \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2)}$

7. Отсюда начальная температура:
$t_0 = t_{кип} - \frac{U^2 \cdot t}{(R_1 + R_2) \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2)}$

Вычисления:

Сначала найдем общее сопротивление:
$R_{общ} = 10 + 10 = 20$ Ом
Найдем количество теплоты, выделенное плиткой:
$Q_{полн} = \frac{220^2}{20} \cdot 148 = \frac{48400}{20} \cdot 148 = 2420 \cdot 148 = 358160$ Дж
Найдем суммарную теплоемкость системы (вода + кастрюля):
$C_{сист} = 4200 \cdot 1 + 920 \cdot 0,3 = 4200 + 276 = 4476$ Дж/$^\circ\text{C}$
Найдем изменение температуры:
$\Delta t = \frac{358160}{4476} \approx 80 \text{ } ^\circ\text{C}$
Находим начальную температуру:
$t_0 = 100 - 80 = 20 \text{ } ^\circ\text{C}$

Ответ: $20 \text{ } ^\circ\text{C}$

Источник: ФИПИ