Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$V = 0,02 \text{ см}^3 = 0,02 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3$
$Q = 12,42 \text{ мДж} = 12,42 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$
$\rho_{\text{св}} = 11300 \text{ кг/м}^3$ (плотность свинца)
$\rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$g = 10 \text{ м/с}^2$
$v = \text{const}$ (движение равномерное)
Найти:
$h - ?$

Анализ и формулы:
1. При равномерном движении шарика вниз его кинетическая энергия не меняется ($E_k = \text{const}$). Согласно закону сохранения и превращения энергии, изменение полной механической энергии системы равно работе сил неконсервативных сил (в данном случае — силы сопротивления воды). Выделившееся количество теплоты $Q$ равно работе силы сопротивления $A_{\text{сопр}}$, которая, в свою очередь, равна убыли потенциальной энергии шарика в поле тяжести с учётом действия выталкивающей силы (силы Архимеда).

2. На шарик при движении в воде действуют три силы: сила тяжести $F_{\text{т}} = mg$, направленная вниз; выталкивающая сила $F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} g V$, направленная вверх; и сила сопротивления среды $F_{\text{сопр}}$, направленная вверх.

3. Так как шарик движется равномерно, сумма сил, действующих на него, равна нулю (первый закон Ньютона):
$F_{\text{т}} - F_{\text{А}} - F_{\text{сопр}} = 0$, откуда $F_{\text{сопр}} = F_{\text{т}} - F_{\text{А}}$.

4. Работа силы сопротивления по модулю равна количеству теплоты:
$Q = F_{\text{сопр}} \cdot h$.
Подставим выражение для силы сопротивления:
$Q = (F_{\text{т}} - F_{\text{А}}) \cdot h$.

5. Распишем силу тяжести через плотность свинца и объём: $F_{\text{т}} = \rho_{\text{св}} V g$.
Тогда формула примет вид:
$Q = (\rho_{\text{св}} V g - \rho_{\text{в}} V g) \cdot h = V g h (\rho_{\text{св}} - \rho_{\text{в}})$.

6. Выразим искомую глубину $h$:
$h = \frac{Q}{V g (\rho_{\text{св}} - \rho_{\text{в}})}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$h = \frac{12,42 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-8} \cdot 10 \cdot (11300 - 1000)}$
$h = \frac{12,42 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10300}$
$h = \frac{12,42 \cdot 10^{-3}}{2,06 \cdot 10^{-3}}$
$h = \frac{12,42}{2,06} \approx 6,029... \approx 6 \text{ м}$.

Проверим размерность:
$[h] = \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{Н}} = \text{м}$.

Ответ: $h = 6 \text{ м}$.

Источник: ФИПИ