Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем превращение энергии. При падении ударной части молота его потенциальная энергия переходит в кинетическую, а в момент удара часть этой механической энергии превращается во внутреннюю энергию стальной детали (нагрев).

Дано:
$M = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг}$ (масса молота)
$h = 2,5 \text{ м}$ (высота падения)
$m = 200 \text{ кг}$ (масса детали)
$\Delta t = 20 \text{ }^\circ\text{C}$ (изменение температуры детали)
$\eta = 25\% = 0,25$ (доля энергии, идущая на нагрев)
$c = 500 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоёмкость стали — табличное значение)
$g = 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
$n - ?$ (количество ударов)

Физические законы и формулы:
1. Потенциальная энергия молота на высоте $h$:
$E_p = Mgh$
2. Полная механическая энергия, выделяющаяся при $n$ ударах:
$E_{полн} = n \cdot E_p = n \cdot Mgh$
3. Количество теплоты, необходимое для нагрева детали:
$Q = cm\Delta t$
4. Согласно условию, на нагревание расходуется часть механической энергии:
$Q = \eta \cdot E_{полн}$

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражения для $Q$ и $E_{полн}$ в уравнение баланса энергии:
$cm\Delta t = \eta \cdot n \cdot Mgh$
Отсюда выразим количество ударов $n$:
$n = \frac{cm\Delta t}{\eta Mgh}$

Расчёт:
Подставим числовые значения в СИ:
$n = \frac{500 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot 200 \text{ кг} \cdot 20 \text{ }^\circ\text{C}}{0,25 \cdot 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2,5 \text{ м}}$
Вычислим числитель:
$500 \cdot 200 \cdot 20 = 2 \text{ } 000 \text{ } 000 \text{ Дж}$
Вычислим знаменатель:
$0,25 \cdot 10000 \cdot 10 \cdot 2,5 = 2500 \cdot 25 = 62 \text{ } 500 \text{ Дж}$
Найдём $n$:
$n = \frac{2 \text{ } 000 \text{ } 000}{62 \text{ } 500} = 32$

Проверка размерности:
$[n] = \frac{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}} \cdot \text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}{\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{м}} = \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \frac{\text{Дж}}{\text{Дж}} = 1$ (величина безразмерная, что верно для количества).

Ответ: 32 удара.

Источник: ФИПИ