Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При прохождении пули через стену часть её кинетической энергии расходуется на совершение работы против сил сопротивления дерева. Согласно условию, вся эта энергия (выделившееся количество теплоты) пошла на нагревание пули.

Дано:
$v_{2} = 300 \text{ м/с}$ — конечная скорость пули;
$\Delta t = 70 \text{ °C}$ — изменение температуры пули;
$c = 500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ — удельная теплоёмкость стали (табличное значение);
$Q = \Delta E_{k}$ — условие задачи (всё тепло пошло на нагрев).
--------------------
$v_{1} - ?$ — начальная скорость пули.

Анализ и формулы:
1. Изменение кинетической энергии пули равно разности её начальной и конечной кинетических энергий:
$\Delta E_{k} = \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2}$, где $m$ — масса пули.

2. Количество теплоты, необходимое для нагревания пули:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.

3. По условию задачи, всё выделившееся тепло равно изменению кинетической энергии:
$c \cdot m \cdot \Delta t = \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2}$.

4. Заметим, что масса $m$ входит в обе части уравнения, поэтому мы можем на неё сократить:
$c \cdot \Delta t = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{2}$.

5. Выразим начальную скорость $v_{1}$:
$2 \cdot c \cdot \Delta t = v_{1}^{2} - v_{2}^{2}$;
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2 \cdot c \cdot \Delta t$;
$v_{1} = \sqrt{v_{2}^{2} + 2 \cdot c \cdot \Delta t}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
$v_{1} = \sqrt{300^{2} + 2 \cdot 500 \cdot 70} = \sqrt{90000 + 70000} = \sqrt{160000} = 400 \text{ (м/с)}$.

Проверим размерность:
$\sqrt{(\text{м/с})^{2} + \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}} \cdot \text{°C}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}} + \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}\cdot\text{кг}}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}}} = \text{м/с}$.

Ответ: $v_{1} = 400 \text{ м/с}$.

Источник: ФИПИ