Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При прохождении пули сквозь стенку её кинетическая энергия уменьшается. Согласно условию задачи, вся работа сил сопротивления, которая привела к уменьшению механической энергии, перешла в теплоту, поглощённую пулей.

Дано:
$v_{2} = 300 \text{ м/с}$ — конечная скорость пули;
$t_{1} = 50 \text{ }^{\circ}\text{C}$ — начальная температура пули;
$t_{2} = 300 \text{ }^{\circ}\text{C}$ — конечная температура пули;
$c = 140 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ — удельная теплоёмкость вещества пули.
Найти:
$v_{1} - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Изменение кинетической энергии пули равно разности её начальной и конечной кинетических энергий:
$\Delta E_{k} = \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2}$, где $m$ — масса пули.

2. Количество теплоты, необходимое для нагревания пули, рассчитывается по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot (t_{2} - t_{1})$.

3. По условию задачи всё выделившееся тепло поглощается пулей, значит:
$\Delta E_{k} = Q$
$\frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2} = c \cdot m \cdot (t_{2} - t_{1})$.

4. Сократим обе части уравнения на массу $m$ (так как $m \neq 0$):
$\frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{2} = c \cdot (t_{2} - t_{1})$.

5. Выразим начальную скорость $v_{1}$:
$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = 2 \cdot c \cdot (t_{2} - t_{1})$
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2 \cdot c \cdot (t_{2} - t_{1})$
$v_{1} = \sqrt{v_{2}^{2} + 2 \cdot c \cdot (t_{2} - t_{1})}$.

6. Подставим числовые значения:
$v_{1} = \sqrt{300^{2} + 2 \cdot 140 \cdot (300 - 50)}$
$v_{1} = \sqrt{90000 + 280 \cdot 250}$
$v_{1} = \sqrt{90000 + 70000}$
$v_{1} = \sqrt{160000} = 400 \text{ м/с}$.

Проверим размерность:
$[v_{1}] = \sqrt{(\text{м/с})^{2} + \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C}} \cdot \text{}^{\circ}\text{C}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}} + \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{\text{кг}}} = \sqrt{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}}} = \text{м/с}$.

Ответ: 400 м/с

Источник: ФИПИ