Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
\Delta t = 0,1 \, ^\circ\text{C}
$\eta = 50\% = 0,5$
$c = 460 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot ^\circ\text{C})$ (удельная теплоёмкость стали)
$g = 10 \, \text{м/с}^2$
Найти:
$h - ?$

Анализ и физические законы:
1. В начальном состоянии молот, находясь на высоте $h$, обладает потенциальной энергией $E_p = mgh$.
2. При падении и ударе о сваю эта энергия переходит в другие виды энергии. По условию, удар абсолютно неупругий, значит, вся механическая энергия переходит во внутреннюю энергию молота и сваи, а также может идти на совершение работы по деформации и перемещению сваи.
3. Количество теплоты, которое пошло на нагревание молота, составляет долю $\eta$ от его первоначальной потенциальной энергии: $Q = \eta \cdot E_p$.
4. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой $m$, вычисляется по формуле: $Q = cm\Delta t$.

Вывод формулы:
Приравняем выражения для количества теплоты:
$cm\Delta t = \eta \cdot mgh$
Заметим, что масса $m$ сокращается в обеих частях уравнения:
$c\Delta t = \eta gh$
Отсюда выразим искомую высоту $h$:
$h = \frac{c\Delta t}{\eta g}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в полученную формулу:
h = \frac{460 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}) \cdot 0,1 \, ^\circ\text{C}}{0,5 \cdot 10 \, \text{м/с}^2}
$h = \frac{46}{5} \, \text{м}$
$h = 9,2 \, \text{м}$

Проверка размерности:
$[h] = \frac{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot ^\circ\text{C}}{\frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2}{\text{с}^2 \cdot \text{кг}}}{\frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} \cdot \frac{\text{с}^2}{\text{м}} = \text{м}$

Ответ: $h = 9,2 \, \text{м}$

Источник: ФИПИ