Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. При падении молота его потенциальная энергия переходит в кинетическую, а в момент удара — в работу по забиванию сваи и во внутреннюю энергию (нагрев).

Дано:
$h = 10 \text{ м}$
$\eta = 50\% = 0,5$ (доля энергии, идущая на нагрев)
$c = 500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$ (удельная теплоёмкость стали из справочных данных)
$g = 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
Найти:
$\Delta t - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Потенциальная энергия молота на высоте $h$ относительно уровня сваи равна:
$E_p = mgh$,
где $m$ — масса молота.

2. Согласно условию задачи, на нагревание молота идёт часть этой энергии, равная $\eta$:
$Q = \eta \cdot E_p$
$Q = \eta mgh$

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания стального молота на $\Delta t$ градусов, определяется формулой:
$Q = cm\Delta t$

4. Приравняем выражения для количества теплоты:
$cm\Delta t = \eta mgh$

5. Выразим изменение температуры $\Delta t$. Заметим, что масса $m$ сокращается, так как она присутствует в обеих частях уравнения:
$c\Delta t = \eta gh$
$\Delta t = \frac{\eta gh}{c}$

6. Подставим числовые значения в полученную рабочую формулу:
$\Delta t = \frac{0,5 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}}{500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}} = \frac{50}{500} \text{ °C} = 0,1 \text{ °C}$

Проверим размерность:
$[\Delta t] = \frac{1 \cdot \text{м/с}^2 \cdot \text{м}}{\text{Дж/(кг}\cdot\text{°C)}} = \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{(\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2)/(\text{кг}\cdot\text{°C)}} = \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}^2/(\text{с}^2\cdot\text{°C)}} = \text{°C}$

Ответ: $\Delta t = 0,1 \text{ °C}$

Источник: ФИПИ