Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. При падении шара его потенциальная энергия переходит в кинетическую, а в момент удара о пластину вся механическая энергия системы превращается во внутреннюю энергию (теплоту).

Дано:
$h = 26$ м
$m_{2} = 1$ кг
$\Delta t = 3,2$ °C
$\eta = 80\% = 0,8$
$c_{2} = 130$ Дж/(кг $\cdot$ °C) (удельная теплоемкость свинца из справочных данных)
$g = 10$ м/с² (ускорение свободного падения)
$v_{0} = 0$
$m_{1} - ?$

Математическая модель и вычисления:

1. Полная механическая энергия шара в начальный момент времени равна его потенциальной энергии относительно поверхности пластины:
$E_{p} = m_{1}gh$, где $m_{1}$ — искомая масса шара.

2. Так как шар после удара остановился, а сопротивлением воздуха мы пренебрегаем, то всё количество теплоты $Q$, выделившееся при ударе, равно начальной потенциальной энергии шара:
$Q = E_{p} = m_{1}gh$.

3. По условию задачи, на нагревание свинцовой пластины пошло 80% от общего количества выделившейся теплоты. Обозначим количество теплоты, полученное пластиной, как $Q_{пл}$:
$Q_{пл} = \eta \cdot Q = \eta \cdot m_{1}gh$.

4. С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагревания пластины массой $m_{2}$ на $\Delta t$, вычисляется по формуле:
$Q_{пл} = c_{2}m_{2}\Delta t$.

5. Приравняем правые части выражений для $Q_{пл}$:
$\eta m_{1}gh = c_{2}m_{2}\Delta t$.

6. Выразим массу шара $m_{1}$:
$m_{1} = \frac{c_{2}m_{2}\Delta t}{\eta gh}$.

7. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$m_{1} = \frac{130 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 3,2 \text{ °C}}{0,8 \cdot 10 \text{ м/с}^{2} \cdot 26 \text{ м}}$.
Выполним расчеты:
$m_{1} = \frac{416}{208} = 2$ кг.

8. Проверим размерность:
$[m_{1}] = \frac{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot \text{кг} \cdot \text{°C}}{\frac{\text{м}}{\text{с}^{2}} \cdot \text{м}} = \frac{\text{Дж}}{\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{\text{м}^{2}/\text{с}^{2}} = \text{кг}$.

Ответ: масса шара $m_{1} = 2$ кг.

Источник: ФИПИ