Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем превращение энергии. При падении ударной части молота его потенциальная энергия переходит в кинетическую, а в момент удара — во внутреннюю энергию детали (теплоту) и энергию деформации. По условию, только часть этой энергии ($25\%$) идет на нагрев стальной детали.

Дано:
$m_{1} = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг}$ (масса молота)
$h = 2,5 \text{ м}$ (высота падения)
$n = 32$ (количество ударов)
$\Delta t = 20 \text{ }^{\circ}\text{C}$ (изменение температуры детали)
$\eta = 25\% = 0,25$ (доля энергии, идущая на нагрев)
$c = 500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)}$ (удельная теплоемкость стали — табличное значение)
$g = 10 \text{ м/с}^{2}$ (ускорение свободного падения)
$m_{2} - ?$ (масса детали)

Физические законы и формулы:
1. Потенциальная энергия молота на высоте $h$:
$E_{p} = m_{1}gh$
2. Полная энергия, выделившаяся при $n$ ударах:
$E_{полн} = n \cdot E_{p} = n \cdot m_{1}gh$
3. Количество теплоты, полученное деталью согласно условию (КПД процесса):
$Q = \eta \cdot E_{полн}$
4. Количество теплоты, необходимое для нагрева детали массой $m_{2}$:
$Q = c \cdot m_{2} \cdot \Delta t$

Вывод рабочей формулы:
Приравняем выражения для количества теплоты:
$c \cdot m_{2} \cdot \Delta t = \eta \cdot n \cdot m_{1} \cdot g \cdot h$
Отсюда выразим искомую массу детали $m_{2}$:
$m_{2} = \frac{\eta \cdot n \cdot m_{1} \cdot g \cdot h}{c \cdot \Delta t}$

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$m_{2} = \frac{0,25 \cdot 32 \cdot 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^{2} \cdot 2,5 \text{ м}}{500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C)} \cdot 20 \text{ }^{\circ}\text{C}}$
Вычислим числитель: $0,25 \cdot 32 = 8$; $8 \cdot 10000 \cdot 10 \cdot 2,5 = 2000000 \text{ Дж}$.
Вычислим знаменатель: $500 \cdot 20 = 10000 \text{ Дж/кг}$.
$m_{2} = \frac{2000000}{10000} = 200 \text{ кг}$.

Проверка размерности:
$[m_{2}] = \frac{1 \cdot 1 \cdot \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^{2}} \cdot \text{м}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{}^{\circ}\text{C}} \cdot \text{}^{\circ}\text{C}} = \frac{\text{кг}\cdot\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{2}}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{\text{Дж}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \text{кг}$.
Размерность совпадает.

Ответ: $m_{2} = 200 \text{ кг}$

Источник: ФИПИ