Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо связать электрическую энергию, потребляемую чайником, с теплотой, идущей на нагрев воды, учитывая коэффициент полезного действия (КПД).

Дано:
$P_{nom} = 2,4 \text{ кВт} = 2400 \text{ Вт}$ (номинальная мощность)
$U_{nom} = 240 \text{ В}$ (номинальное напряжение)
$U = 120 \text{ В}$ (фактическое напряжение в сети)
$m = 600 \text{ г} = 0,6 \text{ кг}$ (масса воды)
$t_1 = 18 \text{ }^\circ\text{C}$ (начальная температура)
$t_2 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)
$\eta = 82\% = 0,82$ (КПД)
$c = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}$ (удельная теплоемкость воды)
--------------------
$\tau - ?$ (время нагрева)

Анализ и формулы:
1. Сопротивление нагревательного элемента чайника $R$ остается неизменным. Его можно найти из номинальных характеристик: $P_{nom} = \frac{U_{nom}^2}{R}$, откуда $R = \frac{U_{nom}^2}{P_{nom}}$.
2. Фактическая мощность чайника $P$ при напряжении $U$ будет равна: $P = \frac{U^2}{R}$.
Подставим выражение для $R$: $P = \frac{U^2 \cdot P_{nom}}{U_{nom}^2} = P_{nom} \cdot \left( \frac{U}{U_{nom}} \right)^2$.
3. Количество теплоты $Q_{пол}$, необходимое для нагрева воды до кипения: $Q_{пол} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$.
4. Полная электрическая энергия $A_{затр}$, потребленная чайником за время $\tau$: $A_{затр} = P \cdot \tau$.
5. КПД чайника определяется как отношение полезного тепла к затраченной энергии: $\eta = \frac{Q_{пол}}{A_{затр}}$.
Отсюда: $\eta = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{P \cdot \tau}$.

Вывод рабочей формулы:
Выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\eta \cdot P}$
Подставим выражение для фактической мощности $P$:
$\tau = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\eta \cdot P_{nom} \cdot \left( \frac{U}{U_{nom}} \right)^2}$

Вычисления:
Сначала найдем фактическую мощность $P$:
$P = 2400 \text{ Вт} \cdot \left( \frac{120 \text{ В}}{240 \text{ В}} \right)^2 = 2400 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2400 \cdot 0,25 = 600 \text{ Вт}$.
Теперь вычислим время:
$\tau = \frac{4200 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot 0,6 \text{ кг} \cdot (100 \text{ }^\circ\text{C} - 18 \text{ }^\circ\text{C})}{0,82 \cdot 600 \text{ Вт}}$
$\tau = \frac{4200 \cdot 0,6 \cdot 82}{0,82 \cdot 600}$
Заметим, что $82 / 0,82 = 100$, а $4200 / 600 = 7$:
$\tau = 7 \cdot 0,6 \cdot 100 = 4,2 \cdot 100 = 420 \text{ с}$.
Переведем в минуты: $420 \text{ с} / 60 = 7 \text{ мин}$.

Ответ: 420 с (или 7 мин).

Источник: ФИПИ