Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Разобьём движение шарика на три этапа: движение вниз до удара, сам удар о землю и движение вверх после удара.

Дано:
$v_0 = 20 \text{ м/с}$
$h_2 = 3h_1$
$\Delta E = 0,5 E_1$ (или $E_2 = 0,5 E_1$)
$g = 10 \text{ м/с}^2$
--------------------
$h_1 - ?$

Анализ и формулы:
1. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на поверхности Земли.
2. Полная механическая энергия шарика в момент броска (состояние 1) состоит из потенциальной энергии на высоте $h_1$ и кинетической энергии:
$E_1 = mgh_1 + \frac{mv_0^2}{2}$.
3. В момент удара о землю часть энергии теряется. По условию, после удара остаётся 50 % энергии, то есть энергия шарика сразу после отскока $E_{отск}$ равна:
$E_{отск} = 0,5 E_1$.
4. После отскока шарик поднимается на максимальную высоту $h_2$. В верхней точке траектории его скорость равна нулю, а значит, вся его энергия переходит в потенциальную:
$E_2 = mgh_2$.
5. Так как сопротивлением воздуха мы пренебрегаем, энергия после отскока равна энергии в высшей точке подъёма:
$E_{отск} = E_2$.
Следовательно: $mgh_2 = 0,5 \cdot (mgh_1 + \frac{mv_0^2}{2})$.

Вывод рабочей формулы:
Разделим обе части уравнения на массу $m$, которая не равна нулю:
$gh_2 = 0,5 \cdot (gh_1 + \frac{v_0^2}{2})$.
Подставим условие $h_2 = 3h_1$:
$g \cdot 3h_1 = 0,5gh_1 + 0,5 \cdot \frac{v_0^2}{2}$
$3gh_1 = 0,5gh_1 + \frac{v_0^2}{4}$.
Перенесём слагаемые с $h_1$ в левую часть:
$3gh_1 - 0,5gh_1 = \frac{v_0^2}{4}$
$2,5gh_1 = \frac{v_0^2}{4}$
Выразим $h_1$:
$h_1 = \frac{v_0^2}{4 \cdot 2,5g} = \frac{v_0^2}{10g}$.

Вычисления:
$h_1 = \frac{20^2}{10 \cdot 10} = \frac{400}{100} = 4 \text{ м}$.

Проверка размерности:
$[h_1] = \frac{(\text{м/с})^2}{\text{м/с}^2} = \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м/с}^2} = \text{м}$.

Ответ: $h_1 = 4 \text{ м}$.

Источник: ФИПИ