Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Разобьём движение шарика на три этапа: состояние в момент броска, состояние непосредственно перед ударом и состояние в высшей точке подъёма после удара.

Дано:
$h_1 = 1,25$ м
$v_1 = 10$ м/с
$\eta = 40\%$ (доля потерянной энергии)
$g = 10$ м/с²
Найти:
$h_2 - ?$

Перевод в СИ:
Все величины уже даны в системе СИ.

Математическая модель и вычисления:
1. В начальный момент времени (на высоте $h_1$) шарик обладает потенциальной энергией относительно земли и кинетической энергией, так как ему сообщили начальную скорость. Полная механическая энергия в этот момент равна:
$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2}$

2. По условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь, значит, до момента удара о поверхность механическая энергия сохраняется. В момент удара теряется $40\%$ энергии. Это означает, что после удара у шарика остаётся $100\% - 40\% = 60\%$ от его первоначальной энергии.
Обозначим долю оставшейся энергии как $k = 1 - \frac{\eta}{100\%} = 1 - 0,4 = 0,6$.
Тогда энергия шарика сразу после удара $E_2$ будет равна:
$E_2 = k \cdot E_1 = 0,6 \cdot (mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2})$

3. После удара шарик начинает подниматься. В высшей точке подъёма на высоте $h_2$ его скорость станет равной нулю, и вся его механическая энергия $E_2$ перейдёт в потенциальную энергию:
$E_2 = mgh_2$

4. Приравняем выражения для $E_2$:
$mgh_2 = k \cdot (mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2})$

5. Разделим обе части уравнения на массу $m$ (она сокращается) и выразим искомую высоту $h_2$:
$gh_2 = k \cdot (gh_1 + \frac{v_1^2}{2})$
$h_2 = \frac{k \cdot (gh_1 + \frac{v_1^2}{2})}{g} = k \cdot (h_1 + \frac{v_1^2}{2g})$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$h_2 = 0,6 \cdot (1,25 \text{ м} + \frac{10^2 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2 \cdot 10 \text{ м}/\text{с}^2}) = 0,6 \cdot (1,25 \text{ м} + \frac{100}{20} \text{ м}) = 0,6 \cdot (1,25 \text{ м} + 5 \text{ м}) = 0,6 \cdot 6,25 \text{ м} = 3,75 \text{ м}$

Проверим размерность:
$[h_2] = 1 \cdot (\text{м} + \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}/\text{с}^2}) = \text{м} + \text{м} = \text{м}$. Размерность совпадает.

Ответ: $h_2 = 3,75$ м

Источник: ФИПИ