Задание №13 — Тела вращения

Решение:

Для начала вспомним, что сечение цилиндра, параллельное его оси, представляет собой прямоугольник. Его площадь вычисляется как произведение высоты цилиндра на длину хорды в основании: $S = h \cdot AB$. По условию высота $l = 40$, следовательно, $S = 40 \cdot AB$.
Рассмотрим основание цилиндра. Отрезок $AB$ делится перпендикуляром $OE$ пополам, то есть $AB = 2 \cdot EA$. Чтобы найти $EA$, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $AEO$, где гипотенуза $AO$ — это радиус (13), а катет $OE$ — расстояние до оси (5):
$EA = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.$
Зная половину хорды, находим всю длину стороны $AB$:
$AB = 12 \cdot 2 = 24.$
Теперь вычислим искомую площадь сечения:
$S = 40 \cdot 24 = 960.$

Ответ: 960

Источник: ФИПИ