Разбор задачи:
Для начала вспомним, что в прямоугольном параллелепипеде любая грань представляет собой прямоугольник. Рассмотрим боковую грань $DD_{1}C_{1}C$. Поскольку это прямоугольник, угол $D$ в треугольнике $DD_{1}C$ является прямым. Воспользуемся теоремой Пифагора для этого треугольника:
$$DC_{1}^{2} = DD_{1}^{2} + DC^{2}$$
Из данного равенства найдём высоту параллелепипеда $DD_{1}$:
$DD_{1} = \sqrt{DC_{1}^{2} - DC^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{5})^{2} - 8^{2}} = \sqrt{16 \cdot 5 - 64} = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь, когда нам известны все три измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота), вычислим его объём по формуле произведения этих величин:
$V = DA \cdot DC \cdot DD_{1} = 5 \cdot 8 \cdot 4 = 160$.

Ответ: 160

Источник: ФИПИ