Задание №13 — Пирамиды

Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $PABC$.
По условию, стороны основания равны: $AB = BC = AC = 14$.
Боковые ребра пирамиды составляют: $PA = PB = PC = 25$.
Для нахождения площади боковой поверхности воспользуемся формулой $S_{бок.} = p \cdot d$, где $p$ — полупериметр основания, а $d$ — апофема (высота боковой грани).
1) Вычислим полупериметр основания $p$:
$$p = \frac{14 + 14 + 14}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$$ 2) Найдем апофему $PH$, обозначенную как $d$. Рассмотрим боковую грань (равнобедренный треугольник $PBC$). Высота $PH$ делит сторону $BC$ пополам, значит, $BH = 7$. Из прямоугольного треугольника $PBH$ по теореме Пифагора:
$$d = \sqrt{PB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$ 3) Теперь определим площадь боковой поверхности:
$$S_{бок.} = 21 \cdot 24 = 504$$

Ответ: 504

Источник: ФИПИ