Задание №13 — Пирамиды

Разбор задачи:

1. Сначала вычислим площадь основания данной правильной четырёхугольной пирамиды. Так как в основании находится квадрат со стороной 4, его площадь составит:
$$S_{осн} = 4 \cdot 4 = 16.$$

2. Для нахождения высоты нам понадобится расстояние от центра основания до его вершины. Найдём длину диагонали квадрата по теореме Пифагора: $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. Тогда её половина будет равна:
$$d_{half} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания и боковым ребром. По условию боковое ребро равно $\sqrt{17}$. Используя теорему Пифагора, вычислим высоту:
$$h = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3.$$

4. Теперь воспользуемся формулой объёма пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$:
$$V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16.$$

Ответ: 16

Источник: ФИПИ