Разбор задачи:
Данное сечение цилиндра, проходящее параллельно его оси, имеет форму прямоугольника. Одна из его сторон совпадает с образующей цилиндра и равна $18,$ а вторая сторона — это хорда $AB.$
Для нахождения площади сечения вычислим длину хорды $AB,$ рассмотрев треугольник $AOB$ в основании цилиндра:
Отрезок $OK$ — это перпендикуляр, опущенный из центра основания на плоскость сечения, его длина по условию составляет $12.$
Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, их длины равны $13.$ Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный, а высота $OK$ делит сторону $AB$ пополам. Обозначим половину хорды $AK = KB$ через $x.$
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $AOK:$
$$x = \sqrt{OA^{2} - OK^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
Тогда вся длина хорды $AB$ будет равна: $2 \cdot 5 = 10.$
Теперь вычислим искомую площадь сечения как произведение его сторон: $10 \cdot 18 = 180.$

Ответ: 180

Источник: ФИПИ